Побудова геодезичних ліній, як граничних траєкторій руху матеріальних частинок по поверхні

Анотація

Геодезичні лінії на поверхні відіграють роль прямих ліній на площині. Із точки на поверхні можна провести пучок геодезичних ліній, серед яких  можуть бути прямі лінії (твірні поверхні, якщо поверхня лінійчата) і криві (плоскі та просторові). Важливою властивістю геодезичних ліній є те, що із ними зв’язаний рух матеріальних частинок по поверхнях. Чим більша швидкість руху матеріальної частинки по поверхні, тим більшою мірою її траєкторія наближається  до геодезичної лінії поверхні.

Знаходження геодезичних ліній поверхонь ґрунтообробних органів і інших знарядь, якими рухається оброблюваний матеріал, дає уявлення про можливі траєкторії руху по них цього матеріалу. Існують практичні методи наближеного знаходження геодезичних ліній на поверхні в заданому напрямі. Для цього потрібно мати модель поверхні і вузьку смужку цупкого паперу, яку необхідно в заданому напрямі просувати по поверхні так, щоб вона не відривалась від неї. Лінія дотику смужки до поверхні і буде геодезичною лінією.

Якщо моделі поверхні немає, але є її рівняння, то існують теоретичні методи знаходження геодезичних ліній, які зводяться до розв’язування диференціальних рівнянь другого порядку.

Метою дослідження є знаходження геодезичних ліній на поверхні за заданими її параметричними рівняннями.

Розглянуто теоретичні методи знаходження геодезичних ліній на поверхні, яка задана параметричними рівняннями. Чисельними методами розв’язано диференціальні рівняння і побудовано геодезичні лінії на поверхні гіперболічного параболоїда.

Встановлено, що середньою геодезичною лінією є прямолінійна твірна поверхні, крайніми – плоскі перерізи поверхні площинами X=0   і  Y=0, решта геодезичних – просторові криві. Доведено достовірність інтегрування диференційного рівняння чисельними методами і безпомилкову візуалізацію одержаних результатів.

Ключові слова: геодезична лінія, траєкторія руху, геодезична кривина, гіперболічний параболоїд