Неперевне згинання мінімальних поверхонь, утворених за допомогою евольвенти кола, заданої функціями натурального параметра
Анотація
CONTINUOUS BENDING OF A MINIMAL SURFACES FORMED WITH A HELP OF EVOLVENT OF A CIRCLE, GIVEN BY NATURAL PARAMETER FUNCTIONS
S.F. Pylypaka, M.M. Mukvich
Analytical description of minimal surfaces is an important issue of geometric modeling of technical forms and architectural designs surfaces. If some closed plane or space line is defined, the minimum surface, that passes through this line, has the smallest area. Geometrical shape of a minimal surface provides uniform distribution of forces in the shell.
Finding analytical description of minimal surface passing through the closed plane line, is reduced to solution of Euler-Lagrange nonlinear differential equation in partial derivatives, which generally is not integrated.
G. Monge (1776) discovered that the condition for minimality of a surface leads to the condition (value of the average curvature surface), and therefore surfaces with are called "minimal". In reality, it is necessary to distinguish the notions of a minimal surface and a surface of least area, since the condition is only a necessary condition for minimality of area, which follows from the vanishing of the first variation of the surface area among all surfaces of class with the given boundary. To verify that in this class even a relative (local) minimum is attained, it is necessary to investigate the second variation of the surface area.
Therefore current research of analytical description of minimal surfaces is to improve variational and finite-difference numerical methods for solving Euler-Lagrange differential equation.
To find analytical description of minimal surfaces there is another area of research connecting with use of properties of complex-variable function. Use of complex-variable function allows to get a parametric equation of minimal surfaces, investigate their differential characteristics, optimize engineering design methods of technical surface forms.
Analysis of recent research and publications. To find analytical description of minimal surfaces by means of complex variable functions it is necessary to define parametric equations of zero length isotropic curve. The method of analytical description of isotropic curves that lie on surfaces of revolution, referred to the isometric grid lines, was realized in works [6, 7]. The research, published in article [8], is devoted to the problem of analytical description of isotropic curves on a given plane curve - their horizontal projection. It should be noted that analytical description of isotropic lines with the help of plane curves defined by functions of a natural parameter requires further research.
Aim of research. To find analytical description of isotropic lines with the help of evolvent of a circle defined by natural parameter functions. With newfound isotropic lines define the associated one-parameter set of minimal surfaces that allow continuous bending.
Materials and methods of research. Analytical description of minimal surfaces in complex space made of isotropic lines as lines of a translation net.
Results of the research and discussion. To find the equation of isotropic lines, parametric equation of a evolvent of a circle, defined by natural parameter functions was used. On the base of isotropic lines the analytical description of a minimal surfaces and adjoint minimal surfaces was found, their visualization was made. When bending surfaces one-parameter set of associated minimal surfaces was defined. An expression for coefficients of first and second quadratic forms of generated minimal surfaces was given.
Conclusions and prospects. It is possible to find an analytical description of isotropic line of zero length for any high plane curve defined by parametric equations of natural parameter. Each isotropic line corresponds to the minimum isotropic surface and associated minimal surface that allow continuous bending. Prospects for future research is to study the differential characteristics of adjoint minimal surfaces and optimization of engineering methods of technical surfaces forms design.
Посилання
Mikhailenko, V. E., Kovalev, S. N. (1978). Konstruirovanie form sovremennykh arkhitekturnykh konstruktsiy [Construction of forms of modern architectural structures]. Kiev: Budivel'nyk, 112.
Matematicheskaya entsyklopediya. (1982). [Encyclopedia of mathematics]. Moscow: Sovetskaya entsyklopediya, 683–690.
Hatsunaev, M. A., Klyachin, A. A. (2014). O ravnomernoy skhodimosti kusochno-lineynykh resheniy uravneniya minimal'noy poverkhnosti [On uniform convergence of piecewise-linear solutions to minimal surface equation]. Ufimskiy matematych. zhurnal, 6(3), 3–16.
Hwang, Jenn-Fang. (1996). A uniqueness theorem for the minimal surface aquation. Pasific Journal of Mathematics, 176(2), 357–364.
Finikov, S. P. (1934). Teoriya poverkhnostey [Theory of surfaces]. Moskva–Leningrad: HTTI, 206.
Pylypaka, S. F., Mukvych, M. M. (2016). Analitychni opys izotropnkh linii na poverkhni psevdosfery ta pobudova minimalnykh poverkhon [Analytical description isotropic line on surface pseudosphere and construction minimal surfaces]. Naukovyi visnyk Natsionalnoho universytetu bioresursiv i pryrodokorystuvannia Ukrainy. Seriia: tekhnika ta enerhetyka APK, 254, 202–210.
Pilipaka, S.F. (2016). Konstruirovanie minimal'nyh poverhnostej s pomoshh'ju izotropnyh krivyh, lezhashhih na poverhnosti tora [Сonstruction a minimal surfaces using isotropic curves lying on the surfase of a torus]. An international journal on operation of farm and agri-food industry machinery «MOTROL. Commission of Motorization and Energetics in Agriculture»/ Polish Academy of Sciences, University of Engineering and Economics in Rzeszow, University of Life Sciences in Lublin, 18(3), 101 – 110.
Pylypaka, S. F., Mukvych, M. M. (2016). Utvorennia izotropnykh linii ta minimalnykh poverkhon za dopomohoiu ploskykh kryvykh, zadanykh funktsiiamy naturalnoho parametra [Modelling of isotropic lines and minimal surfaces with a help of flat curves, given by natural parameter functions]. Naukovi dopovidi NUBiP Ukrainy, 7 (64). Available at: http://journals. nubip.edu.ua/index.php/Dopovidi/ article/view/7734
##submission.downloads##
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Стосунки між правовласниками і користувачами регулюються на умовах ліцензії Creative Commons Із Зазначенням Авторства – Некомерційна – Поширення На Тих Самих Умовах 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0):https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.uk
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див.The Effect of Open Access).
