Утворення ізотропних ліній та мінімальних поверхонь за допомогою плоских кривих, заданих функціями натурального параметра
DOI:
https://doi.org/10.31548/dopovidi2016.07.019Ключові слова:
ізотропна лінія, мінімальна поверхня, приєднана мінімальна поверхня, асоційована мінімальна поверхня, логарифмічна спіраль, квадратична форма поверхні, згинання поверхні, функція комплексної змінної, формули ВейєрштрассаАнотація
У даній статті здійснено аналітичний опис ізотропних ліній і мінімальних поверхонь за допомогою функцій комплексної змінної. Для знаходження рівнянь ізотропних ліній використано параметричні рівняння логарифмічної спіралі, заданої функціями натурального параметра. Для визначення аналітичного опису мінімальних поверхонь та приєднаних мінімальних поверхонь за допомогою ізотропних кривих використано формули Вейєрштрасса. При згинанні мінімальних поверхонь знайдено однопапараметричну множину асоційованих мінімальних поверхонь. Наведено вирази коефіцієнтів першої та другої квадратичних форм утворених мінімальних поверхонь. Показано, що плоскі криві, задані функціями натурального параметра, належать утвореним мінімальним поверхням.
У загальному випадку для будь-якої плоскої кривої, яку задано параметричними рівняннями натурального параметра, можна знайти аналітичний опис ізотропної лінії нульової довжини. Кожній ізотропній лінії відповідає мінімальна поверхня та приєднана мінімальна поверхня, які допускають неперервне згинання. Використання функцій комплексної змінної дозволяє отримати нескладний аналітичний опис мінімальних поверхонь та досліджувати їх конструктивні геометричні параметри. Перспективи подальших досліджень полягають у визначенні диференціальних характеристик утворених мінімальних поверхонь для оптимізації інженерних методів проектування поверхонь технічних форм.
Посилання
Mikhailenko, V.E., Kovalev, S.N. (1978). Konstruirovanie form sovremennykh arkhitekturnykh konstruktsiy [Construction of forms of modern architectural structures]. Kiev: Budivel'nyk, 112.
Matematicheskaya entsyklopediya. (1982). [Encyclopedia of mathematics]. Moscow: Sovetskaya entsyklopediya, 683-690.
Hatsunaev, M.A., Klyachin, A.A. (2014). O ravnomernoy skhodimosti kusochno-lineynykh resheniy uravneniya minimal'noy poverkhnosti [On uniform convergence of piecewise-linear solutions to minimal surface equation]. Ufimskiy matematych. zhurnal, 6(3), 3-16.
https://doi.org/10.13108/2014-6-3-3
Hwang, Jenn-Fang. (1996). A uniqueness theorem for the minimal surface aquation. Pasific Journal of Mathematics, 176(2), 357-364.
https://doi.org/10.2140/pjm.1996.176.357
Klyachin, A.A. (2015). Otsenka pohreshnosti vychisleniya intehral'nykh funktsyonalov s pomoshch'yu kusochno-lineynykh funktsiy [Error estimate calculation of integral functionals using piecewise linear functions]. Vestnik Volhohradskoho hosudarstvennoho universiteta, 1(26), 6-12.
https://doi.org/10.15688/jvolsu1.2015.1.1
Finikov, S.P. (1934). Teoriya poverkhnostey [Theory of surfaces]. Moskva-Leningrad: HTTI, 206.
Ausheva, N.M. (2011). Modelyuvannya poverkhon' Bez'ye [Modeling Bezier surfaces]. Prykladna heometriya ta inzhenerna hrafika, 4(50), 105-109.
Pylypaka, S.F., Mukvich M.M. (2016). Utvorennya minimal'nykh poverkhon' za dopomohoyu izotropnykh kryvykh, yaki lezhat' na poverkhni obertannya astroyidy [Construction of the minimal surface using isotropic curved, lying on the rotational surface of the astroid]. Suchasni problemy modelyuvannya, 6, 91-95.
Mukvich, M.M. (2016). Analitychnyy opys minimal'nykh poverkhon' za dopomohoyu izotropnykh kryvykh, yaki lezhat' na poverkhni obertannya tsykloyidy [Analytical description of the minimal surface using isotropic curved, lying on the rotational surface of the cycloid]. Visnyk Khersons'koho natsional'noho tekhnichnoho universytetu, 3(58), 519-523.
Pylypaka, S.F., Chernyshova, E.O. (2006). Minimal'ni poverkhni, otrymani z izotropnykh kryvykh [Minimum surface obtained from isotropic curves]. Zbirnyk naukovykh prats' KNUDT, 40-45.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Стосунки між правовласниками і користувачами регулюються на умовах ліцензії Creative Commons Із Зазначенням Авторства – Некомерційна – Поширення На Тих Самих Умовах 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0):https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.uk
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див.The Effect of Open Access).
