Кочення багатокутника по криволінійному профілю

Анотація

В статті розглянуто кочення плоскої фігури у вигляді рівностороннього багатокутника по криволінійному профілю. Профіль є періодичним і утворюється послідовним повторенням дуги симетричної кривої в прямолінійному напрямку. Рівняння кривої, з дуги якої конструюється криволінійний про-філь, знайдено за умови, що центр багатокутника при його коченні по профілю, має рухатися по прямій лінії. Кочення відбувається за відсутності ковзання, тому довжина дуги кривої дорівнює довжині сторони багатокутника. При з’єднанні сусідніх дуг профілю утворюється точка звороту, у якій можна провести дотичні до обох дуг. Кут між цими дотичними має бути рівним кутові між сусідніми сторонами багатокутника. Наприклад, для квадрата цей кут є прямим. Виконання цієї умови необхідно для забезпечення плавного перекочування багатокутника при походженні його вершини через точку звороту.
На основі встановлення залежностей між сторо-нами і кутами розглянутих фігур, одна з яких перекочується по іншій, було складено диференціальне рів-няння першого порядку, яке має аналітичний розв’язок. Цим розв’язком є явне рівняння розшукуваної кривої. Переходом від явного до натурального рівняння з’ясовано, що знайденою кривою є відома ланцюгова лінія. Знайдено координати точок на кри-вій, які обмежують дугу потрібної довжини. Наведено вираз для визначення періоду криволінійного профілю.
В статті показано доцільність застосування супровідного тригранника кривої для перевірки досто-вірності отриманого результату. При русі тригранни-ка вздовж плоскої кривої один його орт є дотичним до неї, а другий – перпендикулярний до першого. В сис-темі цих двох взаємно перпендикулярних ортів (доти-чної і головної нормалі) задається такий відносний рух точки, який моделює перекочування дотичної по кривій. Сума двох рухів – відносного руху точки в системі тригранника і переносного руху самого три-гранника по кривій – дає абсолютну траєкторію точ-ки. Для застосування такого підходу необхідно мати рівняння кривої у функції довжини власної дуги. За таке рівняння було взято натуральне рівняння ланцю-гової лінії. Було складено рівняння відносного руху точки, яка є центром багатокутника, в рухомій систе-мі супровідного тригранника. При додаванні відносного і переносного рухів було отримано абсолютну траєкторію, якою є пряма лінія. Цим було підтвер-джено той факт, що розшукуваною кривою є саме ланцюгова лінія. В статті сформульовано відповідне твердження. Також показано, що число сторін багато-кутника повинне бути більше трьох. Для трикутника кочення стає неможливим в момент проходження точки звороту криволінійного профіля.