Знаходження траєкторій руху матеріальної частинки по внутрішній поверхні конуса із вертикальною віссю при боковій подачі матеріалу

Анотація

Рух матеріальних частинок по внутрішній поверхні конуса  має місце у циклонах, конструкції яких можуть мати як циліндричні, так і конічні частини. Аеродинамічні процеси, які відбуваються у циклоні, мають складний характер, тому їх не можна точно змоделювати на основі теоретичних підходів При дослідженнях було введено ряд спрощень: не враховується опір повітря, оскільки частинка подається у конус разом із повітрям, хоча у подальшому їх напрями руху не збігаються (частинка гасить швидкість і опускається вниз, а повітря по центральній частині вздовж осі конуса піднімається вгору і виходить назовні); вплив частинок одна на одну, їх розмір тощо.

  Метою статті є дослідження руху матеріальної частинки, яка вступає на внутрішню поверхню вертикального конуса із заданою початковою швидкістю.

  Якщо матеріальну частинку спрямувати з початковою швидкістю на внутрішню стінку конуса перпендикулярно його твірній, то подальший її рух включатиме як обертання навколо осі конуса, так і опускання вниз під дією сили власної ваги. Для знаходження траєкторії руху прийнято матеріальну точку за вершину супровідного тригранника Френе, який має три взаємно перпендикулярні орти. Другий супровідний тригранник Дарбу має спільний із тригранником Френе орт дотичної до траєкторії.

Було розглянуто рівновагу діючих сил в проекціях на орти тригранника Дарбу. Це дало змогу визначити проекції кривини кривої на відповідні орти тригранника Дарбу. Апарат диференціальної геометрії дав можливість їх знайти через першу і другу квадратичні форми поверхні, що дозволяє уникнути громіздких перетворень.

Складено диференціальні рівняння руху матеріальної частинки по внутрішній поверхні вертикального конуса. Рівняння розв’язані за допомогою системи MatLab.

Отримане рівняння руху частинки по внутрішній поверхні конуса. Аналізуючи траєкторію руху частинки, можна зробити висновок, що вона суттєво відрізняється від траєкторії руху по внутрішній поверхні циліндра. Графіки зміни швидкостей теж показують відмінність руху частинки по конусу від такого ж руху по циліндру. Якщо при вступі на поверхню циліндра частинка гасить свою швидкість до певної межі, а потім вона знову починає зростати, то під час руху по конусу швидкість частинки має певний періодичний характер і з часом наближається до нуля.

За відсутності тертя і опору повітря матеріальна частинка після вступу на внутрішню поверхню конуса під певним кутом до твірної (крім нуля) здійснює коливальний рух, почергово піднімаючись і опускаючись по траєкторії у вигляді петлі, рухаючись при цьому як завгодно довго. Залежно від початкових умов частинка може описувати кінцеву кількість віток петлі, нескінченну кількість віток, рухатися по прямолінійній твірній конуса або по проміжній траєкторії між прямою лінією і петлею.

За наявності тертя частинка буде опускатися вниз до вершини конуса, при цьому можливі локальні підйоми, величина яких залежатиме від початкової швидкості і кута нахилу твірних конуса.  Швидкість при такому русі буде затухати, маючи при цьому також коливальний характер.

Ключові слова: матеріальна частинка, конус, тригранник Дарбу, рівняння руху частинки